Periodische Funktion

Dieser Text beschreibt Periodische Funktion.

In der Mathematik versteht man unter einer periodischen Funktion mit der Periode p eine Funktion f(x), für die für alle x aus der Definitionsmenge gilt:

f(x+p) = f(x).

Jedes ganze Vielfache einer Periode ist ebenfalls eine Periode, man interessiert sich daher meist für die kleinste Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode.)

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der, wenn man ihn graphisch darstellt, eine stets gleichbleibende Schwingung zwischen -1 und 1 durchführt, die sich in dem Abstand von 2π (π ist die Kreiszahl pi) wiederholt.

Die gleiche Definition kann natürlich auch auf Folgen angewendet werden. Siehe zu dem Beispiel Periode (Mathematik) für eine Beschreibung der periodischen Ziffernfolgen von Dezimalbrüchen.

Für Funktionen, die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden, kann die Periode auch in eine nichtreelle Richtung gehen. Zu dem Beispiel ist die komplexe Exponentialfunktion periodisch mit der kleinsten Periode 2πi (mit der imaginären Einheit i).

Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher, deren Definitionsbereich z.B. die Ebene R² ist, kann es auch mehrere kleinste Perioden geben. Die Funktion f von R² nach R, definiert durch

,

ist periodisch mit den kleinsten Perioden (2&pi, 0) und (0, 6&pi). Das heißt, für alle ganzen Zahlen m, n gilt

f(x + 2mπ,y + 6nπ) = f(x,y).